Teoría progresiva

Comprender y operar fracciones

Del significado visual al resultado irreducible: signos, cuatro operaciones, estrategias de simplificación y expresión decimal.

Una fracción es un número

No es sólo “una parte de un pastel”: también expresa una división y ocupa un lugar en la recta numérica.

En \(\frac{a}{b}\), el numerador \(a\) indica cuántas partes se consideran y el denominador \(b\) en cuántas partes iguales se divide la unidad. Siempre exigimos \(b\neq0\).

La misma cantidad puede escribirse de distintas formas. Multiplicar numerador y denominador por el mismo entero no nulo conserva el valor: \(\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}\).

\(\frac12\)

Una de dos partes iguales.

\(\frac34\)

Tres de cuatro partes iguales.

\(\frac58\)

Cinco de ocho partes iguales.

El signo pertenece a toda la fracción

Conviene dejar el denominador positivo para que la escritura final sea única y fácil de comparar.

Un signo negativo

\[-\frac35=\frac{-3}{5}=\frac3{-5}\]

Las tres escrituras representan el mismo número negativo. Normalizamos como \(-\frac35\).

Dos signos negativos

\[\frac{-3}{-5}=\frac35\]

El cociente de dos números con el mismo signo es positivo.

Las cuatro operaciones

Primero entiende qué denominador necesita la operación; después atiende los numeradores.

Suma y resta: mismo denominador

\[\frac ab\pm\frac cb=\frac{a\pm c}{b}\]

Las partes ya tienen el mismo tamaño. Sólo se suman o restan las cantidades de partes.

  1. \(\frac38+\frac28=\frac{3+2}{8}\)
  2. Resultado directo: \(\frac58\)

Suma y resta: distinto denominador

\[\frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd}\]

El producto \(bd\) siempre funciona; el mcm suele producir números menores.

  1. \(\operatorname{mcm}(6,4)=12\)
  2. \(\frac16+\frac34=\frac2{12}+\frac9{12}\)
  3. Resultado: \(\frac{11}{12}\)

Multiplicación

\[\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}\]

Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí. Puedes cancelar factores cruzados antes.

  1. \(\frac23\cdot\frac9{10}\)
  2. Se cancelan \(2\) con \(10\) y \(9\) con \(3\)
  3. \(\frac11\cdot\frac35=\frac35\)

División

\[\dfrac{\frac ab}{\frac cd}=\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc=\frac{ad}{bc}\]

La fracción divisora debe ser distinta de cero. Dividir por ella equivale a multiplicar por su recíproco.

  1. \(\frac25\div\frac3{10}\)
  2. \(\frac25\cdot\frac{10}{3}\)
  3. \(\frac{20}{15}=\frac43\)

Cuatro estrategias para simplificar

Una fracción irreducible tiene numerador y denominador sin divisores comunes mayores que uno.

1. Divisibilidad visible

Divide sucesivamente entre factores evidentes.

\[\frac{36}{48}=\frac{18}{24}=\frac9{12}=\frac34\]

2. Máximo común divisor

Calcula un solo divisor común máximo.

\[\operatorname{MCD}(42,56)=14,\quad\frac{42\div14}{56\div14}=\frac34\]

3. Factores primos

Descompón y cancela factores iguales.

\[\frac{24}{90}=\frac{2^3\cdot3}{2\cdot3^2\cdot5}=\frac4{15}\]

4. Cancelación previa

En productos o divisiones, simplifica cruzado antes de multiplicar.

\[\frac{14}{15}\cdot\frac{25}{21}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{3}=\frac{10}{9}\]

Operar fracciones con signo

Normaliza primero. Así las reglas de enteros se aplican sin ambigüedad.

Suma de signos distintos

  1. \(-\frac23+\frac56\)
  2. \(-\frac46+\frac56\)
  3. \(\frac{-4+5}{6}=\frac16\)

Resta de un negativo

  1. \(\frac34-\left(-\frac58\right)\)
  2. Restar un negativo equivale a sumar.
  3. \(\frac68+\frac58=\frac{11}{8}\)

Producto negativo

  1. \(\frac{-7}{9}\cdot\frac3{14}\)
  2. El signo final es negativo.
  3. \(-\frac{21}{126}=-\frac16\)

Cociente positivo

  1. \(\frac{-4}{5}\div\frac2{-3}\)
  2. \(\frac2{-3}=-\frac23\), por lo que los signos coinciden.
  3. \(-\frac45\cdot-\frac32=\frac{12}{10}=\frac65\)

Ejemplos completos

El procedimiento separa la operación directa de la simplificación para que cada decisión sea comprobable.

\(-\frac7{12}+\frac5{18}\)

  1. Los denominadores son positivos.
  2. \(\operatorname{mcm}(12,18)=36\).
  3. \(-\frac7{12}=-\frac{21}{36}\).
  4. \(\frac5{18}=\frac{10}{36}\).
  5. \(\frac{-21+10}{36}=\frac{-11}{36}\).
  6. \(\operatorname{MCD}(11,36)=1\).
  7. Resultado final: \(-\frac{11}{36}\).

\(\frac{-8}{15}\div\frac{12}{-25}\)

  1. Normaliza: \(-\frac8{15}\div-\frac{12}{25}\).
  2. Los dos signos negativos dan resultado positivo.
  3. Usa el recíproco: \(\frac8{15}\cdot\frac{25}{12}\).
  4. Cancela \(8\) con \(12\): \(2\) y \(3\).
  5. Cancela \(25\) con \(15\): \(5\) y \(3\).
  6. Multiplica: \(\frac{2\cdot5}{3\cdot3}\).
  7. Resultado final: \(\frac{10}{9}\).

De fracción a decimal

Divide el numerador entre el denominador. La factorización del denominador reducido predice el tipo de decimal.

Decimal exacto

Si el denominador irreducible sólo contiene factores \(2\) y \(5\), el decimal termina.

\[\frac7{40}=0.175,\qquad40=2^3\cdot5\]

Decimal periódico

Si queda cualquier otro factor primo, la expansión repite cifras indefinidamente.

\[\frac5{12}=0.41\overline6,\qquad12=2^2\cdot3\]

Practicar en tres niveles